Bahas Soal Matematika   »   Pertidaksamaan Matematika   ›  

Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan \( \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} \) adalah \( \{ x|x \ \text{bilangan real}, \ a \leq x \leq b \} \), maka \(a + b = \cdots \)

1. \( 1 \)
2. \( 2 \)
3. \( 3 \)
4. \( 4 \)
5. \( 5 \)

(UM UGM 2019)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa langkah yang perlu dilakukan.

Langkah pertama: Kita selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan akar tersebut. Perhatikan berikut ini:

Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \( 0 \leq x \leq 2 \).

Langkah kedua: Carilah nilai \(x\) yang memenuhi \( \sqrt{x^2-x+1} \). Ingat bahwa agar \( \sqrt{x^2-x+1} \) mempunyai nilai real, maka \( x^2-x+1 \geq 0 \). Karena \(a > 0\) da \( D = b^2-4ac < 0 \) maka \( x^2-x+1 \) definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap \(x\) bilangan real. Dengan demikian, nilai \(x\) yang memenuhi \( x^2-x+1 \geq 0\) adalah \( x \in R\).

Langkah ketiga: Lakukan hal yang sama seperti pada Langkah Kedua di atas untuk mencari nilai \(x\) yang memenuhi atau membuat \( \sqrt{x+1} \) terdefinisi. Agar \(\sqrt{x+1}\) terdefinisi maka \( x+1 \geq 0 \). Perhatikan berikut ini:

Dari ketiga langkah di atas, irisan nilai \(x\) yang memenuhi pada pertidaksamaan akar di atas merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Jika digambarkan kurang lebih seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( 0 \leq x \leq 2 \) dan \( a \leq x \leq b \) sehingga \( a = 0 \) dan \(b=2\). Nilai \(a+b = 2\).

Jawaban B.